정규분포의 적률

정규분포의 적률

$r$차 적률을 $m_r = EX^r$라고 하면

$$\begin{matrix} & \text{``standard''} & \text{``centeralized''} &\\ & N(0,1) & N(0,\sigma^2) & N(\mu, \sigma^2)\\ m_1 & 0 & 0 & \mu\\ m_2 & 1 & \sigma^2 & \mu^2 + \sigma^2 \\ m_3 & 0 & 0 & \mu^3 + 3\mu\sigma^2\\\ m_4 & 3 & 3\sigma^4 & \mu^4 + 6\mu^2\sigma^2 + 3\sigma^4\\ \end{matrix}$$ 세 분포 사이의 관계는 $$X \sim N(\mu, \sigma^2), \quad Y = X - \mu \sim N(0, \sigma^2), \quad Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$$ 이다. $Y$는 $X$를 중심화한 것이고 $Z$는 $X$를 표준화한 것이다. 다르게는 이들의 관계를 $$Z \sim N(0,1), \quad Y = \sigma Z \sim N(0, \sigma^2), \quad X = \mu + \sigma Z \sim N(\mu, \sigma^2)$$ 라고 할 수도 있다.

표준정규분포의 적률이 $$EZ = 0, \quad EZ^2 = 1, \quad EZ^3 = 0, \quad EZ^4 = 3$$ 이라는 사실을 알고 있으면 일반적인 정규분포의 적률을 쉽게 알 수 있다. $EX$는 다음처럼 기대 $E(\cdot)$의 성질을 이용하여 쉽게 얻을 수 있다. $$EX = E(\mu + \sigma Z) = \mu + \sigma EZ = \mu$$ 2차 적률: $$\begin{align*} EX^2 &= E[(\mu+\sigma Z)^2] \\ &= E[\mu^2 + 2\mu\sigma Z + \sigma^2 Z^2] \\ &= \mu^2 + 2\mu\sigma EZ + \sigma^2 EZ^2\\ &= \mu^2 + \sigma^2 \end{align*}$$ 3차 적률: $$\begin{align*} EX^3 &= E[(\mu+\sigma Z)^3] \\ &= E[\mu^3 + 3\mu^2\sigma Z + 3\mu\sigma^2 Z^2 + \sigma^3 Z^3] \\ &= \mu^3 + 3\mu^2\sigma EZ + 3\mu\sigma^2 E Z^2 + \sigma^3 E Z^3 \\ &= \mu^3 + 3\mu\sigma^2 \end{align*}$$ 4차 적률: $$\begin{align*} EX^4 &= E[(\mu+\sigma Z)^4] \\ &= E[\mu^4 + 4\mu^3\sigma Z + 6\mu^2\sigma^2 Z^2 + 4\mu\sigma^3 Z^3 + \sigma^4 Z^4] \\ &= \mu^4 + 4\mu^3\sigma EZ + 6\mu^2\sigma^2 E Z^2+ 4\mu\sigma^3 EZ^3 + \sigma^4 E Z^4 \\ &= \mu^4 + 6\mu^2\sigma^2 + 3\sigma^4 \end{align*}$$