정규분포 관련 성질

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표준정규분포의 pdf를 $\phi(x)$로 놓고 스케일링한 것을 $\phi_{\sigma}(x) = \phi(x/\sigma)/\sigma$라고 표기하면 편리하다. 이때 $N(\mu,\sigma^2)$의 pdf를 $\phi_\sigma(x-\mu)$로 쓸 수 있다.

표준정규분포 $\phi$의 도함수들은 $\phi$를 이용하여 표현할 수가 있다. 이 관계를 이용하면 미분 계산을 쉽게할 수 있다.
$$\begin{align} \phi'(x) &= -x \phi(x)\\ \phi''(x) &= (x^2-1)\phi(x) \end{align}$$

Convolution의 성질을 이용하면 복잡한 계산들을 매우 간단하게 할 수 있다. 우선 convolution은 다음과 같이 정의된다.
$$(f*g)(x) = \int f(x-y) g(y) dy$$
정규분포의 pdf에서 다음과 같은 성질을 확인할 수 있다.
$$\begin{align} (\phi_{\sigma_1}*\phi_{\sigma_2})(x) = \phi_{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}(x) \end{align}$$
이 성질을 이용하여 $\int \phi^2(x) dx$, $\int \phi_{\sigma_1}(x)\phi_{\sigma_2}(x) dx$ 등을 쉽게 계산할 수 있다.