음이항 분포

음이항 분포(negative binomial distribution)는 성공률이 $p$인 베르누이 시행을 반복할 때 $r$번째 성공이 나올 때까지 시행 중 실패의 수의 분포이다. 실패의 수를 확률변수 $X$라고 하면 pmf는

$$f_X(x) = P(X=x) = \binom{r+x-1}{x}p^r(1-p)^{x}, \quad x=0,1,\cdots$$ 이다. 성공 $r$번, 실패 $x$번이므로 총 $r+x$번 시행하였고 마지막 시행이 성공일 때 실험이 끝나는 것으므로 가능한 조합의 수는 $r+x-1$개 중 $x$개를 고르는 수와 같다.

음이항 분포라는 이름이 붙은 이유

$r>0$, $0< p <1$, $q=1-p$이라고 하면 일반화된 이항정리에 따라

$$1 = p^r p^{-r} = p^r(1-q)^{-r} = p^r\sum_{k=0}^\infty \binom{-r}{k}(-q)^k$$ 이 성립함을 알 수 있다. 여기에서 $$p^{-r} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \binom{-r}{k}q^k = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \binom{-r}{k}(1-p)^k$$ 임을 알 수 있다. 여기에서 음이항 표기의 정의에 따르면 $$(-1)^k\binom{-r}{k} = \binom{r+k-1}{k}$$ 이 성립함을 알고 있으므로 $$p^{-r} = \sum_{k=0}^\infty \binom{r+k-1}{k}(1-p)^k$$ 라고 바꾸어 쓸 수 있다. 따라서 $$\sum_{k=0}^\infty \binom{r+k-1}{k}(1-p)^k p^{r} = 1$$ 이 성립한다는 것을 알 수 있다. 따라서 $$f(x) = \binom{r+x-1}{x} (1-p)^x p^r, \quad r \in\mathbb{Z},\, 0 < p < 1$$ 이 pdf(pmf)임을 알 수 있고 이것이 바로 음이항 분포의 pmf이다.

일반화된 이항정리

이항정리(Binomial Theorem) $$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}$$

일반화된 이항정리 (Generaliazed Binomial Theorem) $$(1+ x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k} x^k, \quad \alpha \in \mathbb{R}, -1 < x < 1$$ 이때 $$\binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}$$ 로 정의한다. 이 식에서 $\alpha$가 자연수이면 이항정리와 동일하게 된다.

테일러 급수와 관계

실수 $\alpha$에 대해 함수 $f(x)=(1+x)^\alpha,\; -1 < x < 1$의 $x=0$에서의 테일러 급수 전개를 하면 $$(1+x)^\alpha = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$$ 인데, 이때 $f(x)$를 $k$번 미분한 $f^{(k)}(x)$는 $$f^{(k)}(x) = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)(1+x)^{\alpha-k}$$ 가 된다. $f(0)=1$이고 $f^{(k)}(0) = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)$이다. 이것을 집어넣으면 $$(1+x)^\alpha = 1 + \frac{\alpha}{1!}x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots = \sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k}x^k$$ 이다.

음이항

일반화된 이항정리의 특수한 경우의 하나로 음이항(negative binomial)을 생각할 수 있다. 실수 $\alpha$ 대신 자연수 $n$으로 한정하면 음이항은 $$\binom{-n}{k} = \frac{(-n)(-n-1)\cdots (-n-k_1)}{k!}$$ 으로 정의되고 $$\frac{(-n)(-n-1)\cdots (-n-k+1)}{k!} = (-1)^k \frac{n(n+1)\cdots (n+k-1)}{k!} = (-1)^k\binom{n+k-1}{k}$$ 와 같은 등식이 성립한다.

감마함수를 이용한 표현

$\alpha > 0$인 경우에 $$(1-x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty \binom{-\alpha}{k}(-x)^k = \sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha+k-1}{k}x^k = \sum_{k=0}^\infty = \frac{\Gamma(k+\alpha)}{k!\Gamma(\alpha)} x^k$$ 이 성립한다. 감마함수의 성질에 따라 $$\Gamma(\alpha + k) = (\alpha+k-1) (\alpha+k-2) \cdots (\alpha+2)(\alpha+1)\alpha \Gamma(\alpha)$$ 이기 때문이다.