감마 함수

정의

감마 함수(gamma function)는 계승(factorial) 함수를 실수로 확장한 것이다. 복소수까지도 확장하지만 여기서는 양의 실수인 경우만 살펴보자. 양의 정수 \(n\)이 있을 때 \(n\)의 계승 \(n!\)은 \[ n! = n(n-1)(n-2) \cdots3\cdot2\cdot1 = \prod_{k=1}^n k \] 로 정의된다. 감마 함수는 이것을 실수로 확장한 것이다. 양의 실수 \(\alpha>0\)에 대해 감마 함수 \(\Gamma(\alpha)\)는 \[ \Gamma(\alpha) = \int_{0}^\infty t^{\alpha-1}e^{-t}dt \] 로 정의된다.

성질

감마 함수는 계승의 확장이므로 \(\alpha\)가 양의 정수인 경우에 적분을 해보면 당연히 계승의 형태가 된다. 즉, 양의 정수 \(n\)에 대해 \[ \Gamma(n) = (n-1)! \] 과 같은 등식이 성립한다. 감마함수가 가지는 성질 중 유용한 것으로는

• \(\Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha)\)
• \(\Gamma(1) = 1\)
• \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\)

이 있다.

예제

감마 함수를 알고 있으면 다항식과 지수함수의 곱으로 이루어진 적분을 부분 적분법을 쓰지 않고도 간단하게 계산할 수 있다. 예를 들어 \[ \int_0^\infty (x^2 + 3x + 5)e^{-x} dx \] 를 계산해야 하는 경우 \[ = \int_0^\infty x^2 e^{-x}dx + 3 \int_0^\infty x e^{-x}dx + 5\int_0^\infty e^{-x}dx \] 로 나누어 쓰면 각 항을 감마 함수로 나타낼 수 있게 된다. 즉, \[ = \Gamma(3) + 3\Gamma(2) + 5\Gamma(1) = 2! + 3\times 1! + 5 = 10 \] 으로 간편하게 계산할 수 있다.

예제

치환을 한 후에 감마 함수로 표현할 수 있는 경우도 존재한다. \[ \int_0^\infty x^2e^{-x^2} dx \] 과 같은 형태인 경우 \(t=x^2\)으로 치환하면 \(x=\sqrt{t}\)이므로 \[ = \int_0^\infty t e^{-t} \frac{1}{2\sqrt{t}}dt = \frac{1}{2}\int_0^\infty t^{1/2}e^{-t}dt \] 로 정리가 되고 감마 함수로 표현하면 \[ = \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \] 가 된다. 여기서 감마 함수의 성질을 이용하며 \[ \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \] 임을 알 수 있다.

표준정규분포

표준정규분포의 pdf는 \[ \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \] 이다. pdf의 성질에 따라 \[ \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx = 1 \] 임을 알고 있다. 실제로 적분을 하기 위하여 \(x=0\)을 중심으로 대칭이라는 사실을 이용하고 \(t=x^2/2\)로 치환하면 \(x=\sqrt{2t}\)이고 \[ = 2\int_0^\infty e^{-x^2/2} dx = 2 \int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t} \frac{1}{\sqrt{2t}} dt \] 이다. 정리하고 감마 함수로 표현하면 \[ = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^\infty t^{-1/2} e^{-t} dt = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \Gamma(1/2) = 1 \] 임을 보일 수 있다.

\(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\)

사실 이것은 무엇인가를 제대로 보인 것은 아니다. 어떻게 \(\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}\)인 것을 아는가? 사실 \[ \Gamma(1/2) = \int_0^\infty t^{-1/2}e^{-t}dt \] 를 계산하는 문제와 \[ \int_0^\infty e^{-x^2/2}dx \] 를 계산하는 문제는 동일한 문제이다. 후자를 계산해 보자. 약간의 트릭이 필요하다. 전체를 제곱한 것이 다음처럼 정리된다는 사실을 이용하자. \[ \left(\int_0^\infty e^{-x^2/2}dx\right)^2 = \left(\int_0^\infty e^{-u^2/2}du\right) \left(\int_0^\infty e^{-v^2/2}dv\right) = \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-(u^2 + v^2)/2}dudv \] 삼각함수를 이용하려는 것이다. \((u, v)\)를 극좌표계로 변환해 보자. \(u\), \(v\) 둘 다 양수이므로 1사분면의 점이고 \[ u = r \cos \theta, \; v = r\sin \theta, \qquad r >0, \; 0 < \theta < \pi/2 \] 로 변환하면 된다. \(u^2+v^2=r^2\)이고 야코비 행렬식이 \[ J = \det \frac{\partial(u,v)}{\partial(r,\theta)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial r} & \frac{\partial u}{\partial \theta}\\ \frac{\partial v}{\partial r} & \frac{\partial v}{\partial \theta}\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r \] 이므로 \(dudv = rd\theta dr\)이다. 따라서 \[ = \int_0^\infty \int_0^{\frac{\pi}{2}} r e^{-r^2/2} d\theta dr = \frac{\pi}{2} \int_0^\infty r e^{-r^2/2} dr = \frac{\pi}{2} \] 이다. 따라서 \[ \int_0^\infty e^{-x^2/2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \] 이다. 이것으로 \[ \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} \] 라는 것도 계산할 수 있다.