다차원 확률변수의 결합적률생성함수

다차원 확률변수의 결합적률생성함수(joint mgf)

다차원 확률변수 \(X = (X_1, X_2, \cdots, X_k)'\)가 있고 \(t=(t_1,t_2,\cdots,t_k)'\)라고 하자. 이때 \[ M(t) = M(t_1,\cdots,t_k) = E[e^{t_1 X_1 + \cdots + t_k X_k}] = E[e^{t'X}], \quad -h_i < t_i < h_i, (\exists h_i >0)(i=1,\cdots,k) \] 를 \(X=(X_1,\cdots,X_k)'\)의 결합적률생성함수(joint mgf)라고 한다. 그리고 \[ C(t) = C(t_1,\cdots, t_k) = \log M(t_1,\cdots, t_k) \] 를 결합누율생성함수(joint cgf)라고 한다.

\(C(t)\)의 일차 편도함수 벡터를 \(\dot C(t)\), 이차 편도함수 행렬을 \(\ddot C(t)\)라고 하자. \(\dot C(t)\)는 \[ \dot C(t) = \left(\frac{\partial}{\partial t_1}C(t), \cdots, \frac{\partial}{\partial t_k} C(t) \right)' \] 이다. 이것을 기울기 벡터(gradient vector)라고 한다. \(\ddot C(t)\)는 \[ \ddot C(t) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2}{\partial t_1^2} C(t) & \frac{\partial^2}{\partial t_1 \partial t_2} C(t) & \cdots & \frac{\partial^2}{\partial t_1 \partial t_k} C(t)\\ \frac{\partial^2}{\partial t_2\partial t_1} C(t) & \frac{\partial^2}{\partial t_2^2} C(t) & \cdots & \frac{\partial^2}{\partial t_2 \partial t_k} C(t)\\ \vdots & \vdots&\ddots & \vdots\\ \frac{\partial^2}{\partial t_k \partial t_1} C(t) & \frac{\partial^2}{\partial t_k \partial t_2} C(t) & \cdots & \frac{\partial^2}{\partial t_k^2} C(t)\\ \end{pmatrix} \] 이다. 이것을 헤시안 행렬(Hessian matrix)라고 한다.

결합누율생성함수를 이용하여 평균 벡터와 분산 행렬을 구할 수 있다. \[ E(X) = \dot C(t), \qquad \text{Var}(X) = \ddot C(0) \] 이다.