다변량 정규분포

다변량 정규분포(multivariate normal)

다차원 확률변수 \(X=(X_1,\cdots, X_k)'\)가 평균 벡터 \(EX = \mu\), 공분산 행렬 \(\text{Var}(X)= \Sigma\)인 다변량 정규분포를 따르는 것을 \(X \sim N(\mu, \Sigma) \)로 표기한다. 책에서는 보통 벡터와 행렬을 굵은 글씨체로 표시하기는 하지만...

다변량 정규분포에서 평균 벡터 \(\mu=(\mu_1,\cdots,\mu_k)'\)는 각각의 평균이다. 즉, \(E X_i = \mu_i\)이다. 그리고 공분산 행렬은 \(\Sigma = (\Sigma_{ij}), \; \Sigma_{ij}=\text{Cov}(X_i,X_j)\)이다.

\(x=(x_1,\cdots,x_k)'\), \(t = (t_1,\cdots,t_k)'\)라고 할 때 $k$차원 다변량 정규분포의 pdf, mgf, cgf는 다음과 같다. \begin{align*} \text{pdf}\quad f(x) &= (2\pi)^{-k/2} |\Sigma|^{-1/2} \exp \left\{ -\frac{1}{2} (x-\mu)'\Sigma(x-\mu) \right\}\\ \text{mgf}\quad M(t) &= \exp\left\{ t'\mu + \frac{1}{2}t'\Sigma t\right\}\\ \text{cgf}\quad C(t) &= t'\mu + \frac{1}{2}t'\Sigma t \end{align*}